História da Matemática "Arquimedes"

Arquimedes (em grego Ἀρχιμήδης) foi um matemático, físico e inventor grego. Foi um dos mais importantes cientistas e matemáticos da Antiguidade e um dos maiores de todos os tempos. Ele fez descobertas importantes em geometria e matemática, como por exemplo um método para calcular o número π (razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro) utilizando séries. Este resultado constitui também o primeiro caso conhecido do cálculo da soma de uma série infinita. Ele inventou ainda vários tipos de máquinas, quer para uso militar, quer para uso civil. No campo da Física, ele contribuiu para a fundação da Hidrostática, tendo feito, entre outras descobertas, o famoso princípio que leva o seu nome. Ele descobriu ainda o príncipio da alavanca e a ele é atribuída a citação: "Dêem-me uma alavanca e um ponto de apoio e eu moverei o mundo".

TEOREMA DE TALES

O Teorema de Tales foi proposto pelo filósofo grego Tales de Mileto, e afirma que quando duas retas transversais cortam um feixe de retas paralelas, as medidas dos segmentos delimitados pelas transversais são proporcionais. Para entender melhor o Teorema de Tales, é preciso saber um pouco sobre razão e proporção. Para a resolução de um problema envolvendo o Teorema de Tales, utiliza-se a propriedade fundamental da proporção, multiplicando-se os meios pelos extremos: os ângulos das retas tem a razão oposto pelo vértice da reta que os corta

Projeto Pedagógico

Universidade Federal Fluminense

Novas Tecnologias no Ensino da Matemática

Informática Educativa II

Alunos: Antônio Ferreira da Silva Rosas

Arilza Vieira Soares

Bruno Magalhães da Silva Carvalho

Guilherme Rogério de Souza Neto

PÓLO: Rio Bonito

PROJETO PEDAGÓGICO: Biografia de Célebres Matemáticos

Disciplina e anos envolvidos: Matemática / 1º Ano do Ensino Médio

Tema central:

Conhecer a vida e as realizações de importantes matemáticos a fim de motivar os alunos ao estudo dessa disciplina curricular tão fascinante e presente em nossas vidas que é a Matemática.

Tema de Apoio:

Texto biográfico;

Familiaridade com sites de busca;

Familiaridade com o software de apresentações gráficas;

Tópicos de Álgebra, Geometria e Aritmética (relativos ao campo de estudo de cada matemático pesquisado).

Justificativa:

Neste trabalho, colocamos em discussão duas questões relevantes no ensino da Matemática atualmente. A primeira delas diz respeito às novas tecnologias: A presença de recursos de informática nos ambientes de ensino tem chamado a atenção dos professores para o potencial didático de sua utilização em sala. Isso traz perspectivas muito animadoras de metodologias diferenciadas que podem levar mais significado ao aprendizado. O segundo questionamento que levantamos se refere à falta de significado da Matemática na vida dos alunos, gerando problemas de aprendizado da disciplina e índices de mais de 60% de reprovação na mesma.
Assim, com este projeto, nos propomos a utilizar recursos da web 2.0 para conscientizar nos educandos de que a Matemática é uma ciência que se desenvolveu no decorrer dos séculos por homens que procuraram respostas a problemas do seu cotidiano ou simplesmente para saciar a sua curiosidade.

Objetivos Gerais:

· Construir um ambiente informatizado para experiências de aprendizagem cooperativa presencial e virtual, utilizando a internet, e páginas da web como suporte.

· Propor a aprendizagem cooperativa como ferramenta de construção de conhecimentos sobre a vida e o trabalho dos grandes matemáticos.

Objetivos Específicos:

-Mostrar a importância da Matemática em nossa vida bem como as suas contribuições para as ciências;

-Identificar a gênese e o desenvolvimento da obra dos matemáticos, em relação com a época na qual ele viveu e trabalhou;

-Destacar a Matemática no contexto crítico e libertador e não como instrumento opressor.

Enfoque pedagógico:

Consideramos que a aprendizagem é um processo coletivo e não somente realizada através das interações com o meio, mas também com o grupo. Assim sendo, neste projeto, as atividades serão realizadas em grupo, nos moldes do sistema de trabalho cooperativo, onde cada indivíduo possa dar a sua colaboração e conhecer a dos outros, contribuindo para o desenvolvimento do grupo e a construção do conhecimento coletivo. Desta forma, afirmamos que o enfoque didático utilizado como referência é o pós-construtivismo.

Recursos Tecnológicos:

O trabalho requererá os seguintes recursos tecnológicos: editores de texto e de apresentações gráficas do Linux (free), sites de busca (Google, Yahoo, Brbusca, Farejador, Cadê, Aonde, Gigabusca, Alta vista, Excite).

Etapas e estratégias de realização:

1ª Semana:

ETAPA 1:Coleta dos dados biográficos sobre os matemáticos

Em sala de aula:

*Explanar com a turma os objetivos do projeto e as atividades que serão desenvolvidas no decorrer do mesmo. Informar que os alunos podem acrescentar metas. Separar a turma em nove grupos, com no mínimo de 4 alunos por grupo, solicitando que elejam entre eles um coordenador, um pesquisador, um redator e um revisor.

No laboratório de informática:

*Antes de iniciar as atividades, motivá-los com o vídeo Sucesso no endereço: http://www.youtube.com/watch?v=FzpHUcA1Y5s .Assistir ao vídeo e descobrir quais são os fatores determinantes para o sucesso, fazendo uma análise individual das atitudes de cada aluno. Relacionar esses fatores ao desenvolvimento do trabalho de cada matemático.
*A fim de dinamizar o trabalho, o professor deverá fornecer uma lista de nomes de célebres matemáticos. Após pedirá que cada grupo escolha na ordem proposta no projeto, ou seja, o primeiro grupo selecionará os nomes com as iniciais A e B, e assim por diante até terminar o número de alunos. Abaixo segue um possível modelo de lista (com nomes em ordem alfabética por sobrenome).

* grupo I: Matemáticos com nomes AB

A

Maria Gaetana Agnesi - Italiana - 1718-1799

Lars Ahlfors - Finlandês - 1907-1996Jean-Lerond d'Alembert - Françes - 1717-1783

Andre Marie Ampere - Françes - 1775-1836

Apolônio de Perga - Grego - 262 a.C.-190 a.C

Vladimir Arnold - Russo - 1937-61 anos

Arquimedes de Siracusa - Grego - 287 a.C.-212 a.C.

Michael Atiyah - Britânico - 1929-79 anos

Arquitas de Tarento - Grego - 428 a.C. - 347 a.C.

B

Charles Babbage - Britânico - 1791-1871

Alan Baker - Sem Referências

Stefan Banach - Polaco - 1892-1945

Grigory Barenblatt - Sem Referências

Isaac Barrow - Britânico - 1630-1677

Jakob Bernoulli - Suiço - 1654-1705

Johann Bernoulli - Suiço - 1667-1748

Joseph Louis Francois

Bertrand - Sem Referências

Friedrich Wilhelm Bessel - Alemão - 1784-1846

Farkos Wolfgang Bolyai - Sem Referências

Janos Bolyai - Sem Referências

Bernhard Bolzano - Bôemio (atual Republica Checa) - 1781-1848

Rafael Bombelli - Sem Referências

Enrico Bombieri - Italiano - 1940-78 anos

George Boole - Britânico - 1815-1864 Richard Borcherds - Sem Referências

Roger Boscovich - Italiano - 1711-1787

Karol Borsuk - Sem Referências

Jean Bourgain - Sem Referências

L.Henry Briggs - Sem Referências

E. J. Brouwer - Holandês - 1881-1966

Bháskara - Indiano - 1114-1185

Giusto Bellavitis - Italiano - 1803-1880

* grupo II: Matemáticos com nomes CD

C

Arthur Cayley - Britânico - 1821-1895

Henri Cartan - Sem Referências

Pierre Cartier - Sem Referências

Georg Cantor - Russo - 1845-1918

Gerolamo Cardano - Italiano - 1501-1576

Augustin Louis Cauchy - Françes - 1789-1857

Bonaventura Cavalieri - Italiano - 1598-1647

Ernesto Cesaro - Sem Referências

Ludolph van Ceulen - Alemão - 1540-1610

Gregory Chaitin - Sem ReferênciasChu-Shi-Shieh - Sem Referências

Paul J. Cohen - Sem Referências

Alain Connes - Sem Referências

John Conway - Britânico - 1937-71 anos

Gabriel Cramer - Suiço - 1704-1752

Gustavo de Castro - Sem Referências

Bento de Jesus Caraça - Portugûes - 1901-1948

Alexis Claude Clairaut - Françes - 1713-1765

D

Germinal Pierre Dandelin - Belga - 1794-1847

David van Dantzig - Holandês - 1900-1959

George Dantzig - Russo - 1914-2005

Richard Dedekind - Alemão - 1831-1916

Pierre Deligne - Sem Referências

Diofanto de Alexandria - Grego - Desconhece-se datas

Simon Donaldson - Sem Referências

Joao Carlos Donario - Sem Referências

Adrien Douady - Sem Referências

Jesse Douglas - Sem Referências

Vladimir Drinfeld - Sem Referências

Eugene Borisovich Dynkin - Sem Referências

René Descartes - Françes - 1596-1650

Diophantus de Alexandria - Sem Referências

* grupo III: Matemáticos com nomes E F G

E

Eratóstenes - Grego - 276 a.C-194 a.C

Paul Erdos - Hungaro - 1913-1996

Euclides - Alexandria (atual Egito) - 360 a.C.-295 a.C

Eudoxo de Cnido - Sem Referências

Leonhard Euler - Suiço - 1707-1783

F

Gerd Faltings - Sem Referências

Charles Fefferman - Sem Referências

Michael Freedman - Sem Referências

Pierre de Fermat - Françes - 1601-1665

Lodovico Ferrari - Italiano - 1522-1565

Leonardo Pisano Fibonacci - Italiano - 1170-1250

Jean-Baptiste Joseph Fourier - Françes- 1768-1830

Adolf Fraenkel - Alemão - 1891-1965

G

Galileu Galilei - Italiano - 1564-1642

Evariste Galois - Françes - 1811-1832

Carl Friedrich Gauss - Alemão - 1777-1855

Sophie Germain - Francesa - 1776-1831

Kurt Gödel - Austríaco - 1906-1978

William T. Gowers - Sem Referências

Christian Goldbach - Alemão - 1690-1764

William Sealey Gosset -Sem Referências

Alexander Grothendieck - Sem Referências

Hermann Gunter Grassmann - Sem Referências

Guldin - da Alemanha - Sem Referências

Greg Smith - Norte Americano - 1989-19 anos

* grupo IV: Matemáticos com nomes H I J

H

Jacques Hadamard - da França - 1865-1963

William Rowan Hamilton - da Inglaterra - 1805-1865

Felix Hausdorff - da Alemanha - 1869-1942

Heisuke Hironaka Charles Hermite - da França - 1822-1901

David Hilbert - da Alemanha - 1862-1943

Hipátia - da Alexandria - 370-415

Lars Hormander Christiaan Huygens - dos Países Baixos - 1629-1695

Hípias de Elis - da Grécia - 460 a.C.-400 a.C.

IInácio Manuel Azevedo do Amaral - do Brasil - 1889-1950

J

Carl Gustav Jakob Jacobi - da Alemanha - 1804-1851

Vaughan F.R. Jones Camille Jordan - da França - 1838-1922

* grupo V: Matemáticos com nomes K L M

K

Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch - da Rússia - 1912-1986

Abraham Gotthelf Kästner - da Alemanha - 1719-1800

Johannes Kepler - da Alemanha - 1571-1630

Felix Klein - da Alemanha - 1849-1925

Kazimierz Kuratowski - da Polônia - 1896-1980

Martin Wilhelm Kutta - da Alemanha - 1867-1944

L

Joseph-Louis de Lagrange - da França - 1736-1813

Robert Langlands Johann

Heinrich Lambert - da Alemanha - 1728-1777

Pierre Simon Laplace - da França - 1749-1827

Henri Leon Lebesgue - da França - 1875-1941

Adrien-Marie Legendre - da França - 1752-1833

Gottfried Wilhelm Leibniz - da Alemanha - 1646-1716

Sophus Lie - da Noruega - 1842-1899

Carl Louis Ferdinand von Lindemann - da Alemanha - 1852-1939

Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski - da Rússia - 1792-1856

M

Colin Maclaurin - da Escócia - 1698-1746

Saunders McLane

Curtis McMullen

Andrei Andreevich Markov - da Rússia - 1856-1922

Grigory Margulis

Jerrold Marsden

Pierre Mathieu - França

Marin Mersenne - da França - 1588-1648

August Ferdinand Möbius - da Alemanha - 1790-1868

Abraham de Moivre - da França - 1667-1754

Gaspard Monge - da França - 1746-1818

Augustus de Morgan - da Índia - 1806-1871

Manoel Amoroso Costa - do Brasil - 1885-1928

Pisano Leonardo-daItalia-1170-1250

* grupo VI: Matemáticos com nomes NOP

N

John Napier - da Escócia - 1550-1617

John von Neumann - da [Hungria]] e América do Norte - 1903-1957

Isaac Newton - da Inglaterra - 1643-1727

Emmy Noether - da Alemanha - 1882-1935

Sergei Novikov

John Forbes Nash - dos Estados Unidos da America , 1928

O

Otto Alencar - do Brasil - 1874-1912

P

Jacob Palis - do Brasil - 1940

Blaise Pascal - da França - 1623-1662

Giuseppe Peano - da Itália - 1858-1932

Henri Poincaré - da França - 1854-1912

Simeon Denis Poisson - da França - 1781-1840

George Polya - da Hungria e América do Norte - 1887-1985

Pitágoras de Sammos - da Grécia

Ptolomeu- da Grécia 85.ca-165ca

* grupo VII: Matemáticos com nomes QRS

Q

Daniel Quillen

R

Srinivasa Ramanujan - da Índia - 1887-1920

Ken Ribet Bernhard Riemann - da Alemanha - 1826-1866

Adam Riese - da Alemanha - 1492-1559

Klaus Friedrich Roth

Carle David Tolme Runge - da Alemanha - 1856-1927

Bertrand Russell - da Inglaterra - 1872-1970

Jacopo Francesco Riccati - Itália - 1676-1754

S

Waclaw Sierpinski - da Polônia - 1882-1969

Stephen Smale Jakob Steiner - da Suíça - 1796-1863

Simon Stevin - dos Países Baixos - 1548-1620

Michael Stifel - da Alemanha - 1487-1567

James Stirling - da Escócia - 1692-1770

* grupo VIII: Matemáticos com nomes TUV

T

Alfred Tarski - da Polônia - 1902-1983

Niccolo Fontana Tartaglia - de Veneza - 1499-1557

Brook Taylor - da Inglaterra - 1685-1731

Ehrenfried Walter Tschiernhaus - da Alemanha - 1651-1708

Alan Turing - da Inglaterra - 1912-1954

Andrey Nikolayevich Tychonoff - da Rússia - 1906-1993

U

Stanislaw Ulam - da Polônia e América do Norte - 1909-1984

Paul Samuilovich Urysohn - da Rússia - 1898-1924

V

Francoise Viete - da França - 1540-1603

Alexandre-Theóphile Vandermonde - da França - 1735-1796

* grupo IX: Matemáticos com nomes W X Y Z

W

Bartel Leendert van der Waerden - dos Países Baixos - 1903-1996

Pierre Laurent Wantzel - da França

Edward Waring - da Inglaterra - 1736-1798

Warren Weaver - dos Estados Unidos da América - 1894-1978

Karl Weierstrass - da Alemanha - 1815-1897

Andre Weil - da França - 1906-1998

Josef Hoëné-Wronski - da Polônia - 1778-1853

Y

Shing-Tung Yau

Jean-Christophe Yoccoz

Z

Doron Zeilberger

Efim Zelmanov

Ernst Zermelo - da Alemanha - 1871-1952

* Após as pesquisas, o professor deverá relacionar com a turma as contribuições desses matemáticos para o desenvolvimento dos conteúdos curriculares que os alunos estudam no Ensino Fundamental (5a.a 8a. séries) até a 3a. série do Ensino Médio.

2ª Semana

ETAPA 2: Tratamento dos dados

*Após a pesquisa, cada grupo deverá organizar toda informação em forma de síntese e edita-las em forma de slides.

ETAPA 3: Socialização e Avaliação dos trabalhos dos grupos

*Nesse momento, o professor marcará um fórum presencial, onde os grupos socializarão seus trabalhos. Haverá também a apreciação e avaliação do relatório do trabalho de cada grupo.

3ª Semana:

ETAPA 4:Apresentação do trabalho

*Na etapa final o trabalho das biografias serão apresentadas às turmas do Ensino Fundamental e Ensino Médio no Data Show.

Definição de papéis:

Espera-se que os alunos tenham um papel ativo na construção dos seus conhecimentos. Propomos uma metodologia de trabalho de grupo na qual o empenho de cada um, resultará no sucesso coletivo. Para isso o grupo elegerá um coordenador, um pesquisador, um redator e um revisor. Quanto aos professores, esperamos uma postura de mediador das tarefas, coordenadores de um processo que objetiva a construção da aprendizagem, não somente um transmissor de conhecimentos.

Sites e bibliografia de apoio:
http://www.somatematica.com.br/biografias.php
http://www.ime.unicamp.br/~calculo/modulos/history/
http://portalmatematico.com/biografias.shtml
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_matem%C3%A1ticos
http://matematiques.sites.uol.com.br/biografiasdematematicos.htm
· Crespo, S. A. (1999). Uma ferramenta para desenvolvimento de cursos à distância. Anais do XIX Congresso Nacional da Sociedade Brasileira de Computação, 1999.
· Fuks, H. (2000). Aprendizagem e Trabalho Cooperativo no ambiente Aula Net . Revista Brasileira de Informática na Educação, n. 6 pp. 53-73, abril de 2000.
Coleta de Dados:

Cada grupo deverá pesquisar nos sites listados nos “sites e bibliografias de apoio”. Após o levantamento de todos os dados (informações e imagens), cada grupo deverá produzir uma síntese e salvá-la numa pasta pessoal. Num próximo momento, os mesmos serão formatados como slides num software de edição e apresentação gráfica.


Seleção do material:

O grupo fará uma pesquisa em sites sobre Matemática, buscando e pontuando os que apresentam informação biográfica ampla de célebres matemáticos. Propor que busquem não só informações, mas imagens e simulações. Após a seleção das informações, se escreverá uma síntese coletiva no Editor de textos. Esse texto será formatado como slide, utilizando os recursos do editor gráfico presentes nos PC’s do colégio.

Programação visual:

Os grupos utilizarão os computadores do laboratório de informática conectados à web, sites de busca para a pesquisa de cada grupo, programas para a edição e exibição de apresentações gráficas necessários para a produção do texto final, onde serão inseridas as informações e as imagens coletadas dos matemáticos. As redes sociais serão usadas para criar uma comunidade de aprendizagem, primeiro entre a classe e depois com outras séries do colégio mediante a exposição dos trabalhos (slides).

Meios para execução:

Uso de sites de busca (Google, Yahoo, Brbusca, Farejador, Cadê, Aonde, Gigabusca, Alta vista, Excite).

Avaliação:
A avaliação será realizada por meio de observações e intervenções que serão feitas no decorrer do trabalho. A pontuação será realizada da seguinte forma: 20% da nota sobre a participação individual, 20% de avaliação feita pelos outros membros do grupo e 60% sobre o produto final, que será a pesquisa em forma de slide. Esperamos que haja um rendimento mínimo de 60%. Cada grupo avaliará se a sua pesquisa atendeu aos objetivos do projeto através de um relatório. Formar um fórum de discussões onde cada grupo apresentará o relatório e o seu trabalho que será avaliado também pelos outros grupos.

Cronograma:

Etapa 1:

Coleta dos dados biográficos sobre os matemáticos

Período: 04/08 a 06/08

Duração: 5 aulas


Etapa 2:

Tratamento dos dados

Período: 11/08 a 13/08

Duração: 4 aulas

Etapa 3:

Socialização e Avaliação dos trabalhos
dos grupos

Período: 18/08 a 20/08

Duração: 4 aulas

Etapa 4:

Apresentação dos trabalhos

Período: 25/08

Duração: 2 aulas

JOHN VENN

John Venn nasceu no dia 4 de agosto de 1834 em Hull, Inglaterra, e morreu no dia 4 de abril de 1923 em Cambridge, Inglaterra. Veio de uma Igreja de fundo Evangélico e quando ele entrou em Gonville e na Faculdade de Caius Cambridge em 1853 ele teve um leve contato com livros de qualquer tipo e pode ser dito que lá tinha começado o seu conhecimento de literatura. Ele se formou em 1857, e dois anos depois foi ordenado um padre. Em 1862 ele voltou a Universidade de Cambridge como um conferencista em Ciência Moral, estudando e ensinando lógica e teoria da probabilidade. Ele desenvolveu a lógica matemática de Boole e é melhor conhecido pelo seu diagrama de representar conjuntos e as sua uniões e interseções.

Gottfried Wilhelm von Leibniz

1646-1716 DC

Gottfried Leibniz era filho de Friedrich Leibniz, professor de filosofia em Leipzig. Sua mãe chamava-se Catharina Schmuck, filha de uma advogado e terceira esposa de Friedrich. Leibniz foi criado praticamente pela mãe, pois seu pai morreu quando ainda tinha 6 anos de idade.
Aos 7 anos, Leibniz entrou na escola Nicolai, em Leipzig. Embora Latim tenha sido uma das matérias que lhe foi ensinada na escola, Leibniz foi autodidata em Latim avançado e Grego até os 12 anos. Sua motivação maior parece ter sido a vontade de ler os livros do pai. Conforme progredia nos estudos, foram-lhe ensinadas também lógica Aristotélica e teoria de categorização do conhecimento. Leibniz mostrava-se claramente insatisfeito com o sistema de Aristóteles e começou a desenvolver suas próprias idéias em como melhorá-lo. Em um período posterior de sua vida Leibniz reconheceu que nesta época ele estava tentando achar a ordem por trás de verdades lógicas, o que, ainda que ele não reconhecesse como tal, eram as idéias por trás de provas matemáticas rigorosas.
Em 1661, aos 14 anos, Leibiniz entrou para a Universidade de Leipzig. Pode nos parecer que ele tenha entrado na Universidade excepcionalmente jovem, mas é justo dizer que, apesar de realmente jovem, havia outros na mesma faixa etária. Ele estudou Filosofia, matéria bem ensinada em Leipzig, e Matemática, não tão bem ensinada. Lá Leibniz estudou retórica, latim, greco e hebraico. Ele graduou-se bacharel em 1663 com a tese De Principio Individui (Sobre os Princípios do Indivíduo) que:
... enfatizava o valor existencial do indivíduo, que não deve ser explicado pela matéria simplesmente ou pela forma tão pouco, mas pelo seu completo ser.
Após graduar-se Leibniz foi a Jena, passar as férias de verão. Lá conheceu o professor de Matemática Erhard Weigel. Weigel era também um filósofo e com sua ajuda, Leibniz começou a entender a importância do método matemático de demonstração em assuntos como lógica e filosofia. Weigel acreditava que o número era o conceito fundamental do Universo e suas idéias tiveram considerável influência sobre Leibniz. Em outubro de 1663 Leibniz volta a Leipzig, recomeçando seus estudos em direção a um doutorado em legislação. Ele recebeu o grau de Mestre em Filosofia por uma dissertação que combinava aspectos de Filosofia e lei, estudando as relações entre estes assuntos com idéias matemáticas aprendidas com Weigel. Sua mãe morreu poucos dias após Leibniz apresentar sua dissertação.
Após obter o título de bacharel em leis, Leibniz trabalhou em sua habilitação em Filosofia. Seu trabalho foi publicado em 1666 como Dissertatio de arte combinatoria (Dissertação sobre a arte da combinatória). Neste trabalho Leibniz afirmava reduzir todo o raciocínio e descoberta a uma combinação de elementos básicos tais como números, letras, sons e cores.
Apesar de sua crescente reputação, foi-lhe recusado o grau de doutor em leis em Leipzig. Não é muito claro porque isto aconteceu. É provável que, como um dos mais jovens candidatos e tendo apenas doze professores em leis disponíveis, ele deveria esperar outro ano. Contudo, há também uma história que a esposa do encarregado pela Universidade persuadiu-o a argumentar contra Leibniz, por alguma razão obscura. Leibniz não estava preparado para aceitar qualquer tipo de atraso e foi imediatamente para a Universidade de Altdorf, onde recebeu o título de doutor em leis em fevereiro de 1667, por sua tese De Casibus Perplexis.
Leibniz recusou a promessa de uma cadeira em Altdorf porque tinha outros planos em mente. Ele trabalhou como secretário para a Sociedade Alquímica de Nuremberg por algum tempo tendo então encontrado o Barão Johann Christian von Boineburg. Em novembro de 1667 Leibniz estava vivendo em Frankfurt, empregado por Boineburg. No correr dos anos Leibniz envolveu-se em uma grande variedade de projetos diferentes (científicos, literários e políticos). Ele levou em frente sua carreira nas leis, trabalhando na corte de Mainz antes de 1670.
Um dos objetivos de longo prazo (a vida toda, talvez) era organizar todo o conhecimento humano. Certamente ele viu seu trabalho como legislador como parte deste ideal. Ainda com este intuito, tentou unificar os trabalhos das sociedades científicas, de forma a coordenar a pesquisa. Leibniz começou a estudar o movimento, e embora ele tivesse em mente o problema de explicar os resultados de Wren e Huyghens sobre colisões elásticas, ele começou com idéias abstratas de movimento.
Em 1671 ele publicou Hypothesis Physica Nova (Novas Hipóteses Físicas). Neste trabalho afirmou, como Kepler, que o movimento depende da ação de espíritos. Ele entrou em contato com Oldenburg, o secretário da Royal Society of London, e dedicou alguns de seus trabalhos para a Royal Society e para a Paris Academy. Leibniz também matinha contato com Carcavi, o bibliotecário real em Paris.
Leibniz desejava visitar Paris para fazer mais contatos científicos. Ele havia começado a desenvolver uma máquina calculadora que, ele imaginava, despertaria algum interesse. Ele criou um plano político para tentar persuadir a França a invadir o Egito. Em 1672 Leibniz foi a Paris com o patrocínio de Boineburg para tentar usar seu plano e dissuadir Luis XIV de atacar áreas da Alemanha. Seu primeiro objetivo em Paris era fazer contato com o governo Francês mas, enquanto esperava por esta oportunidade, Leibniz fez contato com matemáticos e filósofos, em particular Arnauld e Malebranche, discutindo com Arnauld diversos tópicos, particularmente a unificação da Igreja.
Em Paris Leibniz estudou Matemática e Física sob a tutela de Christiaan Huygens, começando em 1672. Seguindo seus conselhos, Leibniz leu o trabalho de Saint-Vincent sobre séries e fez algumas descobertas nesta área. Ainda no outono de 1672, o filho de Boineburg foi mandado a Paris para estudar sob a orientação de Leibniz, o que significava que seu suporte financeiro era seguro. Acompanhando o filho de Boineburg estava seu sobrinho em missão diplomática para tentar persuadir Luis XIV a criar uma comissão de paz. Boineburg morreu em 15 de dezembro mas Leibniz continuou sendo financiado por sua família.
Em janeiro de 1673 Leibniz e o sobrinho de Boineburg foram a Inglaterra tentar a mesma missão de paz, já que a francesa havia falhado. Leibniz visitou a Royal Society, e exibiu sua calculadora, ainda incompleta. Ele também falou com Hooke, Boyle e Pell. Quando expôs seus resultados a respeito de séries a Pell, descobriu que eles já existiam em um trabalho de Mouton. Leibniz não compareceu na reunião da Royal Society em 15 de fevereiro. Nela Hooke traçou alguns comentários desfavoráveis a respeito de sua máquina de calcular. Leibniz conclui que seu conhecimento de Matemática era menor do que ele gostaria que fosse e redobrou seus esforços.
A Royal Society of London aceitou Leibniz em suas fileiras em 19 de abril de 1673. Leibniz conheceu Ozanam e resolveu um de seus problemas. Também reencontrou Huygens, que deu-lhe uma lista de leitura, incluindo trabalhos de Pascal, Fabri, Gregory, Saint-Vincent, Descartes e Sluze. Ele começou a estudar a geometria dos infinitesimais e escreveu a Oldenburg na Royal Society em 1674. Oldenburg respondeu que Newton e Gregory haviam chegado a métodos mais gerais. Leibniz não estava, contudo, com suas melhores relações com a Royal Society, já que havia prometido terminar sua máquina calculadora e não o fizera. Tampouco sabia Oldenburg que Leibniz havia transformado-se de um matemático comum em um gênio criativo. Em 1675 chegou a Paris Tschirnhaus, que acabou por tornar-se amigo íntimo de Leibniz. Esta parceria foi matematicamente lucrativa para ambos.
Foi durante este período em Paris que Leibniz desenvolveu as noções básicas de sua versão do Cálculo. Em 1673 ele ainda estava batalhando para desenvolver uma boa notação para seu Cálculo e suas contas eram confusas. Em 21 de novembro de 1675 ele escreveu um manuscrito usando a notação f(x) dx pela primeira vez. No mesmo manuscrito a regra para o produto da diferenciação é apresentada. No outono de 1676 Leibniz descobriu a regra familiar d(xn) = n xn-1 dx para n inteiro ou fracionário.
Newton escreveu uma carta a Leibniz, mas ela levou algum tempo para chegar. A carta listava muitos dos resultados de Newton, mas não descrevia os métodos. Leibniz respondeu imediatamente a Newton, que sem perceber que sua carta havia atrasado muito, levou seis semanas para responder. Certamente uma das conseqüências da carta de Newton foi alertar Leibniz da necessidade de publicar seus métodos.
Newton escreveu uma segunda carta a Leibniz em 24 de outubro de 1676, que só chegou a ele em junho de 1677, pois Leibniz havia se mudado para Hanover. Nesta segunda carta, embora polida, Newton deixava claro sua crença de que Leibniz havia roubado seus resultados. Na resposta, Leibniz deu alguns detalhes sobre os princípios de seu Cálculo, incluindo a regra para a diferenciação de funções compostas.
Newton afirmou, justamente, que
... nem um único problema previamente sem solução foi resolvido ...
Mas a abordagem de Leibniz mostrava que o formalismo era vital no desenvolvimento posterior do Cálculo. Leibniz nunca pensou na derivada como um limite. Isto não aparece até o trabalho de d'Alembert.
Leibniz desejava permanecer em Paris, na Academia de Ciências, mas já considerava-se que havia um número suficiente de estrangeiros, e como conseqüência disso, nenhum convite lhe foi feito. Relutantemente Leibniz aceitou uma posição de bibliotecário na corte de Hanover, onde viveria o resto de sua vida (exceto pelas muitas viagens que fez).
Seus trabalhos como bibliotecário eram "mundanos", mas ele desenvolveu uma série de outros projetos pessoais. Por exemplo, um dos maiores começou em 1678-79 e envolvia a drenagem de água das minas nas montanhas de Harz. Sua idéia era utilizar a força dos ventos e da água para operar bombas. Ele projetou diversos tipos de bombas e engrenagens mas todos terminaram em fracasso. Leibniz acreditava que isto era devido ao medo dos trabalhadores de perderem seus empregos para o progresso.
Uma das grandes conquistas de Leibniz em Matemática foi o desenvolvimento do sistema binário de aritmética. Ele aperfeiçoou seu sistema por volta de 1679, mas não publicou nada até 1701, quando ele enviou o trabalho Essay d'une nouvelle science des nombres à Academia de Paris para marcar sua entrada na Academia. Outra grande conquista de Leibniz foi seu trabalho em determinantes, resultado de sua pesquisa em sistemas de equações lineares. Embora ele nunca tenha publicado este trabalho, ele desenvolveu diversas abordagens para o problema com diversas notações diferentes, tentando encontrar qual era mais útil. Um trabalho não publicado datado de 22 de janeiro de 1684 contém resultados muito satisfatórios.
Leibniz continuou a aperfeiçoar seu sistema metafísico na década de 1680, tentando reduzir o raciocínio a uma álgebra do pensamento. Leibniz publicou Meditationes de Cognitione, Veritate et Ideis (Reflexões sobre Conhecimento, Verdade e Idéias) que esclarecia sua teoria sobre o conhecimento. Em fevereiro de 1686 Leibniz escreveu seu Discours de métaphysique (Tratado sobre Metafísica).
Em 1684 Leibniz publicou detalhes de seu Cálculo Diferencial em Nova Methodus pro Maximis et Minimis, item que Tangentibus... em Acta Eruditorum, um jornal estabelecido em Leipzig apenas há dois anos. O trabalho continha a notação já familiar notação "d", as regras para o cálculo da derivadas de potências, produtos e quocientes. Contudo não continha demonstrações e Jacob Bernoulli chamou aquilo de enigma e não de explicação.
Em 1686 Leibniz publicou, na Acta Eruditorum, um trabalho sobre o Cálculo Integral com a primeira aparição impressa da notação .
Os Principia de Newton apareceriam no próximo ano. O método das fluxões de Newton foi escrito em 1671, mas Newton falhou em tê-lo publicado. Este trabalho ficaria desconhecido até 1736, quando John Colson produziu uma versão traduzida para o Inglês. Este atraso na publicação gerou a disputa entre Newton e Leibniz.
Em 1710 Leibniz publicou Théodicée, um trabalho filosófico, onde tentava explicar o problema do mal em um mundo criado por um Deus bom. Leibniz afirmava que o Universo tinha de ser imperfeito, para poder ser distinto de Deus. Também afirmava que era o melhor Universo possível, sem ser perfeito. Em 1714 Leibniz escreveu Monadologia que sintetizava as idéias de Théodicée.
Muitas das atividades matemática de Leibniz em seus últimos anos envolveram a disputa sobre a invenção do Cálculo. Em 1711 ele leu um trabalho de Keill na Transactions of the Royal Society of London que acusava-o de plágio. Leibniz exigiu uma retratação dizendo que ele nunca havia ouvido falar do cálculo de fluxões até ter lido os trabalhos de Wallis. Keill respondeu que as cartas de Newton davam todas as indicações necessárias para que Leibniz chegasse aos seus resultados.
Leibniz escreveu de novo a Royal Society pedindo a eles que corrigissem o mal produzido pelas afirmações de Keill. Em resposta a esta carta, a Royal Society indicou um comitê para avaliar a situação. Naturalmente a opinião deste comitê era completamente desbalanceada, já que Leibniz nunca foi chamado a dar sua versão dos fatos e o relator era o próprio Newton!
A disputa não arrefeceu nem quando Leibniz escreveu a Newton detalhando seus resultados e descobertas sobre o Cálculo Diferencial. De 1715 até a sua morte, Leibniz correspondeu-se com Samuel Clarke, patrocinador de Newton, sobre tempo, espaço, livre arbítrio, atração gravitacional através do vácuo, entre outros tópicos.

SIR ISAAC NEWTON

Pierre de Fermat

1601-1665 DC



O pai de Pierre Fermat era um próspero comerciante de couro e segundo cônsul de Beaumont-de-Lomagne. Fermat tinha um irmão e duas irmãs, e foi quase certamente criado em sua cidade de nascimento. Embora haja pouca evidência acerca de sua educação, é quase certo que tenha estudado no monastério Franciscano local.

Ele esteve na Universidade de Toulouse antes de se mudar para Bordeaux na segunda metade dos anos 1620. Em Bordeaux ele começou suas primeiras pesquisas matemáticas sérias e em 1629 ele deu uma cópia de sua restauração do trabalho de Apolônio - Planos - a um dos matemáticos da instituição. Certamente em Bordeaux ele esteve em contato com Beaugrand e durante este período ele produziu importantes trabalhos sobre máximos e mínimos, dados a Etienne d'Espagnet, que claramente compartilhava com Fermat o interesse pela Matemática.

De Bordeaux, Fermat foi para Orléans, onde estudou direito na Universidade. Ele formou-se advogado civil e comprou um escritório no parlamento, em Toulouse. Então, em 1631 Fermat era advogado e oficial do governo em Toulouse e por causa de seu escritório, mudou seu nome para Pierre de Fermat.

Pelo resto de sua vida ele viveu em Toulouse, mas além de trabalhar lá, também trabalhou em sua cidade natal e em Castres. Sua carreira foi meteórica, em parte por tempo de serviço e idade, em parte porque a praga levou a maioria dos mais velhos. Ele mesmo foi atingido pela doença e ficou tão mal que sua morte foi prematuramente anunciada.

Naturalmente Fermat estava preocupado com Matemática, senão não estaria nesta página! Ele manteve sua amizade com Beaugrand mesmo depois de mudar-se para Toulouse, mas lá ele encontrou um novo amigo em Matemática, Carcavi. Fermat conheceu Carcavi por força de profissão, pois eram colegas como advogados em Toulouse. Mas também compartilhavam o amor pela Matemática e Fermat contou a Carcavi sobre suas descobertas.

Em 1636 Carcavi foi a Paris na condição de bibliotecário real e fez contato com Mersenne e seu grupo. O interesse de Mersenne foi cultivado pelas descrições de Carcavi sobre o trabalho de Fermat acerca de corpos em queda. Carcavi escreveu a Fermat, que respondeu em 26 de abril de 1636, e, além de contar a Messenne sobre erros que ele acreditava ter encontrado nos trabalhos de Galileu sobre queda livre, ele também contou a Mersenne sobre seus trabalhos em espirais e sobre a restauração do Planos. Seu trabalho em espirais foi motivado pela consideração do caminho descrito por corpos em queda livre e ele usou métodos generalisados a partir de Sobre espirais, de Arquimedes. Fermat escreveu:

Eu também encontrei diversos tipos de análises para problemas vários, tanto numéricos como geométricos, nos quais a análise de Viète não seria suficiente. Eu repartirei tudo com você quando você o desejar e o faço sem ambição, da qual eu sou mais livre e estou mais distante do que qualquer homem no mundo.
É irônico que este contato inicial com Fermat e a comunidade científica tenha sido através de seu estudo sobre queda livre, já que Fermat tinha pouco interesse em aplicações físicas da Matemática. Mesmo com seus resultados em queda livre ele estava muito mais interessado em provar teoremas sobre Geometria do que em sua relação com o mundo real. Nesta primeira carta contudo, havia dois problemas sobre máximos que Fermat pediu a Mersenne que fossem passados aos matemáticos de Paris. Aliás, este era o estilo de Fermat: desafiar outros a obter resultados que ele já havia obtido.

Roberval e Mersenne acharam que os problemas propostos por Fermat nesta primeira (e em subseqüentes) carta eram extremamente difíceis e usualmente insolúveis usando as técnicas correntes. Eles pediram a Fermat para divulgar seus métodos e Fermat mandou seu Método para determinar Máximos e Mínimos e Tangentes a Linhas Curvas, sua restauração de Planos e sua aproximação algébrica à Geometria Introdução aos Planos e Sólidos aos matemáticos de Paris.

Sua reputação como um dos maiores matemáticos do mundo veio rapidamente, mas tentativas de publicar seus trabalhos falhavam, principalmente porque Fermat de fato nunca quis por seus trabalhos em uma forma apresentável. Contudo, alguns de seus métodos foram publicados, como por exemplo no trabalho de Hérigone, Cursus mathematicus, que continha um suplemento com os métodos de Fermat para encontrar máximos e mínimos.

Esta sua maneira de desafiar outros matemáticos logo contribuiu para o acúmulo de inimizades. Uma dessas controvérsias envolveu Descartes. Beaugrand enviou para Fermat o trabalho de Descartes intitulado La Dioptrique para avaliação, mas Fermat deu pouca atenção, dado que estava no meio de uma correspondência com Roberval e Pascal sobre métodos de integração e centros de massa. Diante da insistência de Mersenne, Fermat emitiu a seguinte opinião sobre La Dioptrique:

tateando nas sombras.
Ele afirmava que Descartes não deduziu corretamente sua lei de refração, já que era inerente às suas hipóteses. Dizer que Descartes ficou desagradado é um eufemismo. Rapidamente Descartes encontrou uma razão para ficar ainda mais furioso, ao perceber que o trabalho de Fermat sobre máximos, mínimos e tangentes poderia ofuscar aquele que considerava seu trabalho mais importante, La Geómétrie.

Descartes atacou os métodos de Fermat para máximos, mínimos e tangentes. Roberval e Etienne Pascal envolveram-se na discussão e eventualmente também Desargues, a quem Descartes indicou como árbitro. Fermat mostrou-se correto e eventualmente Descartes admitiu isto escrevendo:

... vendo o último método que você usa para encontrar tangentes à linhas curvas, posso avaliá-lo de uma única maneira, afirmando que é de fato muito bom e que, se você o tivesse explicado deste jeito no princípio, eu não teria contradito em hipótese alguma.
Várias razões contribuíram para que entre 1643 e 1654 Fermat ficasse fora de contato com seus colegas em Paris. Primeiramente, a pressão do trabalho, que o impedia de dedicar tempo à Matemática. Segundo, uma guerra civil em 1648 que afetou Toulouse. Finalmente, a praga em 1651, que quase levou Fermat à morte. Contudo, foi neste período que Fermat trabalhou em teoria dos números.

Fermat é melhor lembrado quando associado a seu trabalho em teoria dos números, em particular pelo Último Teorema de Fermat. Este teorema diz que

xn + yn = zn
não tem solução inteira não-nula para x, y e z quando n > 2. Fermat escreveu, na margem da tradução de Bachet para Aritmética Diofantina

Descobri uma demonstração realmente memorável, mas esta margem é muito pequena para contê-la.
Atualmente acredita-se que a dita "prova" de Fermat estava errada, embora não se possa ter certeza completa. Em 1993 o matemático Inglês Andrew Wiles disse ter provado o teorema, mas, após uma revisão cuidadosa, no final de 1994 sua prova foi aceita.

Tentativas mal-sucedidas de provar este teorema nos últimos 300 anos, levaram a várias descobertas matemáticas, como por exemplo a teoria dos anéis comutativos.

Fermat voltou a se corresponder com os matemáticos franceses em 1654, quanto Blaise Pascal - filho de Etienne Pascal - escreveu-lhe para confirmar suas idéias sobre probabilidade. A curta correspondência entre os dois serviu de fundação para a teoria das probabilidades, e por causa disso eles são atualmente considerados fundadores do assunto.

Neste mesmo período, um dos alunos de Descartes estava organizando sua correspondência para publicação e pediu ajuda a Fermat a respeito de sua correspondência com Descartes. Isto fez com que Fermat repensasse os argumentos por ele usados 20 anos antes, sobre suas objeções à óptica de Descartes. Em particular, ele estava insatisfeito com as descrições de Descartes para a refração da luz e então aproveitou a deixa e estabeleceu um princípio que de fato resultou na lei dos senos para a refração que Snell e Descartes propuseram. Fermat deduziu esta lei a partir de um princípio fundamental por ele proposto, o de que a luz sempre percorre o menor caminho possível. O princípio de Fermat, hoje uma das mais básicas leis da óptica, não foi muito bem recebido pelos matemáticos da época.

Fermat também deixou grandes contribuições em Teoria dos Números, que na época não era muito bem vista. Por causa disso, e também por sua desorganização com os escritos, suas idéias sobre Teoria de Números acabaram não sendo discutidas com outros matemáticos da época.